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理論
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PDF解析
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構造モデルから計算されるPDF解析に関わる関数を説明する。
ここでいう構造モデルとは、周期境界条件を仮定する原子配置データを意味する。

部分二体分布関数 :math:`g_{\alpha\beta}(r)`
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下図に示されるように、ある原子を中心として他の原子が周りに存在する場合を考える。

.. figure:: ./images/gr.png
   :width: 60%
   :align: center
   :name: @f12-8

   動径分布の概念図

１元系の構造モデルを仮定する場合、中心原子（青色）から半径 :math:`r` と :math:`r+dr` の微小半径で挟まれた領域に存在する原子（赤色）
の数の期待値 :math:`dn(r)` は二体分布関数 :math:`g(r)` を用いて以下の式で表される。

.. math::

   dn(r) =  \frac{N}{V}  g(r)  4  {\pi}  r^2  dr

上式を変形することによって、二体分布関数 :math:`g(r)` は

.. math::

   g(r) =  \frac{dn(r) V} {4  {\pi}  r^2  dr N}
   
と計算される。
ここで :math:`r` は注目する原子からの距離、 :math:`N` はセル内の原子数、 :math:`V` はセルの体積である。

2元系以上の場合、元素のペアを考える必要がある。一方の原子を :math:`\alpha` 、他方の原子を :math:`\beta` とする場合、中心原子 :math:`\alpha` および周辺原子 :math:`\beta` の部分二体分布関数 :math:`g_{\alpha\beta}(r)` は以下の式で計算される。

.. math::

   g_{\alpha\beta}(r) =  \frac{dn_{\alpha\beta}(r) V} {4  {\pi}  r^2  dr N_{\alpha}}

ただし、 :math:`N_{\alpha}` は原子 :math:`\alpha` の数、 :math:`dn(r)` は中心原子 :math:`\alpha` から半径 :math:`r` と :math:`r+dr` の微小半径で挟まれた領域に存在する原子 :math:`\beta` の数の期待値である。

二体分布関数 :math:`g(r)`
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二体分布関数 :math:`g(r)` は、部分二体分布関数 :math:`g_{\alpha\beta}(r)` を用いて以下のように計算される。

.. math::

   g(r) = \dfrac{\sum_{\alpha}^{}\sum_{\beta}^{}c_{\alpha}c_{\beta}f_{\alpha}f_{\beta}g_{\alpha\beta}(r)} {\langle f^2 \rangle}

ここで :math:`c_{\alpha}` は原子 :math:`\alpha` の濃度（ :math:`c_{\alpha}=N_{\alpha}/N` ）である。また、:math:`f_{\alpha}` は原子 :math:`\alpha` の散乱因子であり、X線回折の場合 :math:`Q` に依存する値である。一方、中性子回折の場合に :math:`f_{\alpha}` は散乱長であり、 :math:`Q` に依存しない。これらの詳細を、下記の構造因子 :math:`S(Q)` の節で述べる。また、分母は正規化項であり

.. math::

   \langle f^2 \rangle = \left(\sum_{\alpha}^{} c_{\alpha}f_{\alpha}\right)^2 = \sum_{\alpha}^{}\sum_{\beta}^{} c_{\alpha}c_{\beta}f_{\alpha}f_{\beta} 

と計算される。X線回折の場合、:math:`Q` ごとに正規化項の計算が必要となる。

部分構造因子 :math:`S_{\alpha\beta}(Q)`
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部分構造因子 :math:`S_{\alpha\beta}(Q)` は、部分二体分布関数 :math:`g_{\alpha\beta}(r)` の
フーリエ変換で求めることができ、以下の式で計算される。

.. math::

   S_{\alpha\beta}(Q) =  1 + 4  {\pi} {\rho} \int \frac{\sin(Qr)}{Qr} (g_{\alpha\beta}(r)-1) r^2 dr
  
ただし、 :math:`\rho` は原子の数密度（ :math:`\rho=N/V` ）である。

構造因子 :math:`S(Q)`
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構造因子 :math:`S(Q)` は、部分構造因子 :math:`S_{\alpha\beta}(Q)` を用いるFaber-Ziman型 [1] で計算される。

.. math::

   S(Q) &= 1 + \dfrac{1} {\langle f^2 \rangle} \sum_{\alpha}^{}\sum_{\beta}^{}c_{\alpha}c_{\beta}f_{\alpha}f_{\beta} (S_{\alpha\beta}(Q)-1) \\
   &= \dfrac{1} {\langle f^2 \rangle} \sum_{\alpha}^{}\sum_{\beta}^{}c_{\alpha}c_{\beta}f_{\alpha}f_{\beta} S_{\alpha\beta}(Q)

上式において、 :math:`f_{\alpha}` や  :math:`f_{\beta}` として、X線回折の場合にX線散乱因子 (X-ray scattering factor)、
中性子回折の場合に中性子散乱長（Neutron scattering length）が用いられる。
X線散乱因子は、以下の近似計算が用いられることが多い。

.. math::

   f(Q) = \sum_{i=1}^{5}a_i \exp \left(-b_i \left(\dfrac{Q}{4\pi}\right)^2 \right) + c

ただし、上式における元素ごとの定数 :math:`a_i, b_i, c` には文献 [2] の記載データ等が使われる。  

また、中性子散乱長は、:math:`Q` に依存しない値であり、元素ごとに定まる定数が用られる。中性子散乱長の具体的な値に関しては `Wikipedia <https://en.wikipedia.org/wiki/Neutron_scattering_length>`_ や `NICTのDB <https://www.ncnr.nist.gov/resources/n-lengths/>`_ を参照いただきたい。


減衰二体分布関数 :math:`G(r)`
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減衰二体分布関数 :math:`G(r)` (reduced PDF)は、二体分布関数 :math:`g(r)` を用いて以下の式で計算される。
 
.. math::

   G(r) =  4  {\pi}  r \rho  [g(r)-1 ]


全相関関数 :math:`T(r)`
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全相関関数 :math:`T(r)` (total correlation function)は、二体分布関数 :math:`g(r)` を用いて以下の式で計算される。
 
.. math::

   T(r) =  4  {\pi}  r {\rho}  g(r)

動径分布関数 :math:`N(r)`
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動径分布関数 :math:`N(r)` (Radial Distribution Function, RDF)は、全相関関数 :math:`T(r)` を用いて以下の式で計算される。

.. math::

   N(r) =  r T(r) = 4  {\pi}  r^2 \rho  g(r)



| [1] E. Faber and J. M. Ziman, Phil. Mag., 11 (109), 153–173, (1965).  
| [2] D. Waasmaier and A. Kirfel, Acta Cryst. A51, 416–431 (1995).